Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a. Người ta dựng tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng đường cao của tam giác ABC

Lời giải

Chọn C

Ta có độ dài đường cao của tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a là 2a32=a3 nên tam giác A1B1C1 có cạnh bằng a3. Do đó hai tam giác ABC và A1B1C1 dồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là .

Suy ra SA1B1C1SABC=k2=34⇒SA1B1C1=34SABC.

Tương tự ta có SA2B2C2=34SA1B1C1, SA3B3C3=34SA2B2C2,…

Nên dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=34 và số hạng đầu SABC=2a234=a23.

Suy ra tổng diện tích của tất cả các tam giác đều ABC, A1B1C1, A2B2C2,… bằng

S=SABC1−q=a231−34=4a23.

Ta có 4a23=243⇔a=6.