Cho tam giác đều $ABC$ và các điểm $M,N,P$ thỏa mãn

40/55

Cho tam giác đều $ABC$ và các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} $. Tìm được $k = \frac{a}{b}$($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) để $AM$ vuông góc với $PN$. Tính $2a + b$.

Giải thích

$Cho tam giác đều $ABC$ và các điểm $M,N,P$ thỏa mãn (ảnh 1)$

Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB} $$ = k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} $.

$\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} $.

Để $AM \bot PN$ thì $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0$$ \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0$$ \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}$$ \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Do đó $2a + b = 5$.

Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án

Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn