Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. a) Chứng minh rằng O cũng là tâm đường tròn nội tiếp

a) Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên O là trọng tâm của tam giác.

Mà trọng tâm của tam giác đều cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều đó.

Do đó O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Do JK // BC và IK // AB nên tứ giác ABCK là hình bình hành.

Mặt khác, ABC^=60° (do tam giác ABC đều)

Suy ra AKC^=ABC^=60° hay IKJ^=60°.

Tương tự, ta chứng minh được KJI^=60°.

Do đó, tam giác IJK là tam giác đều.

c) ⦁ Vì ∆IJK đều nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆IJK là R'=JK33.

Ta có CAK^=CKA^=60° nên ∆ACK đều nên AK = AC.

Tương tự, ta chứng minh được AJ = AB.

Lại có AB = AC (do ∆ABC đều) nên AK = AJ hay A là trung điểm của JK.

Do đó R'=JK33=2AK33=2AC33.

⦁ Vì tam giác ABC đều nên bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: r=AC36.

Suy ra AC=6r3=2r3.

Do đó R'=2·2r3·33=4r.

Vậy rR'=14.