Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . Biết rằng đường tròn ( O ) có bán kính bằng 3 cm . Tính diện tích tam giác ABC

Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC , ta có: BAH^=CAH^=BAC^2=60°2=30° Kéo dài AH cắt đường tròn \(({\rm{O}})\) tại D .

Khi đó \(\widehat {{\rm{BOD}}}\) và \(\widehat {{\rm{BAD}}}\) lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BD ⇒BOD^=2BAD^=2.30°=60°

Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{OB}} = 3\;{\rm{cm}}\) (gt) và BOD^=60°. Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: BH=OB⋅sinBOH=3⋅sin60°=332( cm)

Vì  đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC . ⇒BC=2BH=2⋅332=33( cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{AB}} = {\rm{BC}} = 3\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\) và góc BAH^=30°(cmt)

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:  AH=AB⋅cosBAH=33⋅cos30°=92( cm)

Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) là diện tích tam giác đều, ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{AH}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3  = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)