Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn

⦁ Vì ∆ABC là tam giác đều nên

Xét đường tròn (O) có lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB nên suy ra

⦁ Vì phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành các điểm D nên điểm D nằm trên đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OD thì điểm A tạo nên cung AD có số đo 60°.

Khi đó ta có OA = OD và nên ∆OAD là tam giác đều.

Suy ra AD = OA = OD và

⦁ Mặt khác, (hai góc kề nhau)

Nên

Xét ∆BOD có OB = OD (cùng bằng OA) và nên ∆BOD là tam giác đều.

Do đó BD = OB = OD và

Từ (1) và (2) ta có AD = DB và

Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

AD = DB = BE = EC = CF = FA và

Vậy ADBECF có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng 120° nên là một lục giác đều.