Cho tam giác đều ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC.

a) ΔAME vuông tại E có đường trung tuyến EI

⇒ EI = 12AM ⇒ EI = MI = AI

+ Tương tự ta có: DI = FI = AI = MI

Tam giác AEI cân tại I nên IAE^=IEA^

⇒ EIM^=2IAE^

Tương tự: MID^=2IAD^

⇒ EIM^+MID^=2IAE^+2IAD^

DIE^=2.30°=60° (do góc EAD^=30°) 

DIF^=180°−360°−240° (do IAF^+IMC^=120°)

Suy ra: DIF^=60°

b) Tam giác DIE có: DI = EI mà DIE^=60° nên tam giác DIE đều

Suy ra: DI = EI = DE (1)

Tương tự: tam giác DIF đều vì DI = FI mà DIF^=60°

Suy ra: DI = FI = DF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DE = EI = IF = DF

⇒ tứ giác DEIF là hình thoi.