Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 5 và H là trung điểm của BC . Khi đó, tích vô hướng −−→ AH ⋅ −−→ CA bằng

Đáp án đúng là: B

Dựng hình bình hành \(AHMC\), suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {CM} \), kết hợp với giả thiết ta suy ra \(CM \bot BC\), khi đó \(\widehat {HCM} = 90^\circ \).

Tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng 5 nên suy ra \(AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AH} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \left( {\overrightarrow {CM} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {MCA} = \widehat {MCH} + \widehat {ACB} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {CA} = \left| {\overrightarrow {AH} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 \cdot \cos 150^\circ = - \frac{{75}}{4}\).