Chứng minh rằng tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn và tính bán kính (ảnh 1)

Ta có là các tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại và nên

Xét vuông tại theo định lí Pythagore, ta có:

Suy ra

Gọi là giao điểm của với tia ta có nên

Do đó, nên là trung điểm của

Do vuông tại nên trung điểm của cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp

Do vuông tại nên trung điểm của cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp

Do đó bốn điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính

Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

Xét vuông tại ta có: . Suy ra

Do là hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại nên và là tia phân giác của góc suy ra

Vì vậy tam giác là tam giác đều có (1)

Theo chứng minh trên, ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tam giác đều có là tâm đường tròn ngoại tiếp nên cũng đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. (2)

Từ (1), (2) suy ra đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh có tâm là và bán kính là

Cho tam giác đều ABC cạnh a thì có bán kính đường tròn nội