Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

7/8

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

R=a3;

R=a9;

R=a2;

R=a6.

Giải thích

Đáp án đúng là : B

Ta có: 2MA→+3MB→+4MC→

=2MI→+IA→+3MI→+IB→+4MI→+IC→.

=9MI→+2IA→+3IB→+4IC→

Ta chọn điểm I sao cho 2IA→+3IB→+4IC→=0→

⇔3IA→+IB→+IC→+IC→−IA→=0→. (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó IA→+IB→+IC→=3 IG→ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: 9 IG→+IC→−IA→=0→

⇔9 IG→+AI→+IC→=0→

⇔9IG→+AC→=0→⇔9 IG→=CA→ (3)

Do đó 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→

⇔9MI→+2IA→+3IB→+4IC→=AB→

⇔9MI→=AB→ (do 2IA→+3IB→+4IC→=0→)

⇔9MI=AB⇔IM=AB9

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính R=AB9=a9.