Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(5\sqrt 3 \) có \(G\) là trọng tâm

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} \)\( = \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} \)\( = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} \)\( = - 2\overrightarrow {GC} \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(CG = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 5\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {GC} } \right| = 2 \cdot 5 = 10\).