Cho tam giác đều ABC cạnh 16. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB. Tính tích vô hướng vectơ BC · vectơ AM.

Vì \(M \in BC\) và \(MC = 3MB\) nên \(BM = \frac{1}{4}BC = \frac{{16}}{4} = 4\), suy ra \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \).

Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AM} \): \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \).

Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BC}  \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = BC \cdot AB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 16 \cdot 16 \cdot \cos 120^\circ  = 256 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 128\);

\(\frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4} \cdot {16^2} = 64\).

Do đó: \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AM}  =  - 128 + 64 =  - 64\).

Đáp số: \( - 64\).