Cho tam giác DEF vuông tại D, (DE < DF), có đường trung tuyến DH. Từ H kẻ HM vuông góc DE tại M, kẻ HN vuông góc DF tại N. a) Chứng minh tứ giác DMHN là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) Xét tứ giác \[DMHN\] có:

\(\widehat {MDN} = 90^\circ \) (vì \[\Delta DEF\] vuông tại \[D\] nên \(\widehat {EDF} = 90^\circ \));

\(\widehat {DMH} = 90^\circ \) (vì \[HM \bot DE\] tại \[M)\];

\(\widehat {DNH} = 90^\circ \) (vì \[HN \bot DF\] tại \[N).\]

Do đó tứ giác \[DMHN\] là hình chữ nhật.

b) Vì tứ giác \[DMHN\] là hình chữ nhật nên \(MD = HN\,;\,\,MD\,{\rm{//}}\,HN\) hay \(MD = HN\,;\,\,EM\,{\rm{//}}\,HN\).

Xét \[\Delta DEF\] vuông tại \[D\] có đường trung tuyến \(DH\) ứng với cạnh huyền \(EF\).

Suy ra \(DH = HE = HF = \frac{1}{2}EF\) nên tam giác \(HDE\) cân tại \(H.\)

Tam giác \(HDE\) cân tại \(H\) có \(HM\) là đường cao (\[HM \bot DE\] tại \[M)\] nên \(HM\) cũng là đường trung tuyến, suy ra \(MD = ME.\)

Mà \(MD = HN\) (cmt) nên \(EM = HN\).

Tứ giác \[EMNH\] có \(EM\,{\rm{//}}\,HN;\,\,EM = HN.\)

Do đó, tứ giác \[EMNH\] là hình bình hành.