Cho tam giác DEF vuông tại D có DE < DF, đường cao DH

a) Tứ giác \(DMHN\) có:

•\(\widehat {MDN} = 90^\circ \) (do \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\))

•\(\widehat {DMH} = 90^\circ \) (do \(MH \bot DE\))

•\(\widehat {HND} = 90^\circ \) (do \(HN \bot DF\)).

Do đó, tứ giác \(DMHN\) là hình chữ nhật.

b)Ta có:\(MH \bot DE;\,\,DF \bot DE\) suy ra \(MH\,{\rm{//}}\,DF\) nên \(MK\,{\rm{//}}\,DF\).

Do đó \(\widehat {KHI} = \widehat {DFI}\)(hai góc so le trong)

Xét \[\Delta HIK\] và \[\Delta FID\] có:

\(\widehat {HIK} = \widehat {FID}\)(hai góc đối đỉnh)

\[HI = IF\] (gt)

\(\widehat {KHI} = \widehat {DFI}\) (cmt)

Do đó \[\Delta HIK = \Delta FID\] (g.c.g)

Suy ra \[DI = IK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \[DHKF\] có \[DI = IK\] (cmt); \[HI = IF\] (gt)

Do đó, tứ giác \[DHKF\] là hình bình hành.

c) Xét tam giác \[DHF\] có \(MN\) cắt\(DH\) tại \(O\), \(FO\) cắt \(DK\) tại \(G\).

Khi đó,\(G\) là trọng tâm của tam giác \[DHF\]suy ra\(DI = \frac{3}{2}DG\) .

Mà \[DK = 2DI\] nên \[DK = 3DG\].