Cho tam giác cân ABC tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác.

13/14

Cho tam giác cân $ABC$ tại $A,$ có $BH$ và $CK$ là hai đường cao của tam giác.

1) Chứng minh $\Delta AKH$ cân.

2) Chứng minh tứ giác $BCHK$ là hình thang cân.

3) Gọi $I$ là giao điểm của $BH$ và $CK.$ Chứng minh $AI$ là trung trực của đoạn $BC.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác cân $ABC$ tại $A,$ có $BH$ và $CK$ là hai đường cao của tam giác. (ảnh 1)$

1) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta ACK$ có:

$AB = AC$(do tam giác $ABC$ cân tại tại $A);$

$\widehat {BAH} = \widehat {CAK}$

Do đó $\Delta ABH = \Delta ACK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AH = AK$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $\Delta AHK$ cân tại $A$.

2) $\Delta AHK$ cân tại $A$ nên $\widehat {AHK} = \widehat {AKH}$ (hai góc ở đáy)

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (hai góc ở đáy) (1)

Mà $\Delta AHK$ và $\Delta ABC$ chung góc $\widehat {A\,\,}$ nên suy ra $\widehat {AHK} = \widehat {AKH} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

Do đó $KH\,{\rm{//}}\,BC$ nên $BCHK$ là hình thang (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $BCHK$ là hình thang cân.

3) Ta có: $\Delta BCK = \Delta CBH$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $\widehat {BCK} = \widehat {CBH}$ (hai góc tương ứng)

Do đó $\Delta BIC$ cân tại $I$ nên $IB = IC$

Từ $IB = IC,AB = AC$ ta suy ra $AI$ là trung trực của $BC$.