Cho tam giác ABC vuông tại B có BC +CA = 22cm

107/235

Cho tam giác ABC vuông tại B có $B C + C A = 22 c m$ . Khi diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất thì $\cos^{2} C_{}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Đưa diện tích tam giác $ABC$ về dạng hàm số một ẩn. Ứng dụng min max của hàm số.

Lời giải

Đặt $BC = x(0 < x < 11)$

Ta có $BC + CA = 22 \Rightarrow CA = 22 - BC = 22 - x$

Xét tam giác vuông tại $B$, theo Pytago ta có:

$A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} = {(22 - x)^2} - {x^2} = - 44x + 484$.

Suy ra $AB = \sqrt { - 44x + 484} $

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.\sqrt { - 44x + 484} .x = f\left( x \right)$

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{1}{2}.\sqrt { - 44x + 484} + \frac{{ - 44}}{{2\sqrt { - 44x + 484} }}.\frac{1}{2}x = \frac{{ - 44x + 484 - 22x}}{{2\sqrt { - 44x + 484} }}$$ = \frac{{ - 33x + 242}}{{\sqrt { - 44x + 484} }}$

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 33x + 242 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{22}}{3}$

Ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ như sau:

Dựa vào bảo biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{{22}}{3}$.

Tức là diện tích tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất khi $BC = \frac{{22}}{3}$.

Khi đó $AB = \sqrt { - 44x + 484} = \sqrt { - 44.\frac{{22}}{3} + 484} = \frac{{22\sqrt 3 }}{3}$

$ \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}C = {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\frac{{22\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{22}}{3}}}} \right)^2} = 3$.