Cho tam giác ABCvuông tại A(AB<AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng đường thẳng d qua A song song BC, đường thẳng d’ qua C song song BA, gọi D là giao điểm của d và d’. Dựng AE vuông góc

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành

Vì đường thẳng d qua \(A\) song song BC suy ra \(AD//BC\)

Vì đường thẳng d’ qua \(C\) song song AB suy ra \(AB//CD\)

Vậy ABCD là hình bình hành

b) Tứ giác \(AECD\)nội tiếp được trong đường tròn.

Ta có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB{\rm{//}}CD\) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)(hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {AED} = \widehat {ACD} = 90^\circ \). Từ đó chỉ được ra tứ giác \(AECD\)nội tiếp đường tròn đường kính \[AD\]

c) \(DF.DB = 2A{B^2}\)

Gọi giao điểm của \(AC\) và \(BD\)là \(I\), do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(IA = IC;IB = ID;AB = CD\)

Xét tam giác \(DCI\)vuông tại \(C\)có \(CF\)là đường cao, sử dụng tam giác đồng dạng chỉ ra \(C{D^2} = DF.DI \Rightarrow A{B^2} = DF.DI\)

\( \Rightarrow 2A{B^2} = 2.DF.DI\)mà \(2DI = BD\)do đó \(2A{B^2} = DF.BD\).