Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn

Cách 1:

(Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có
DBDC=cb⇒BD→=cbDC→⇔ID→−IB→=cbIC→−ID→⇔b+cID→=bIB→+cIC→  (1)
Do I là chân đường phân giác nên ta có :

IDIA=BDBA=CDCA=BD+CDBA+CA=ab+c⇒b+cID→=−aIA→    (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2:

(hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
Ta có IC→=IA'→+IB'→ (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có :
IBIB'=BA1CA1=cb⇒IB'→=−bcIB→   (1)
Tương tự : IA'→=−acIA→   (2)

Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
IC→=−acIA→−bcIB→⇔aIA→+bIB→+cIC→=0→