Cho tam giác ABC với AB=c, BC=a, CA=b và có trọng tâm G.

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN=a,  GP=b,  GQ=c và dựng hình bình hành GPRN
Ta có a2.GD→+b2.GE→+c2.GF→=0→⇔a.GD.GN→+b.GE.GP→+c.GF.GQ→=0→ (*)
Ta có a.GD=2SΔGBC,  b.GE=2SΔGCA,   c.GF=2SΔGAB, mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên SΔGBC=SΔGCA=SΔGAB suy ra a.GD= b.GE= c.GF
Vậy (*)⇔GN→+GP→+GQ→=0→
Ta có AC=GP=b,  PR=BC=a và ACB^=GPR^ (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)
Suy ra ΔACB=ΔGPRc.g.c
⇒GR=AB=c và PGR^=BAC^
Ta có QGP^+BAC^=1800⇒QGP^+GPR^=1800⇒Q,  G,  R thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
GN→+GP→+GQ→=GR→+GQ→=0→Vậy a2.GD→+b2.GE→+c2.GF→=0→.