Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau

Cho ba véc tơ a→;b→;c→ đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện :  

ma→+nb→+pc→=0→m'a→+n'b→+p'c→=0→     m,m'≠0   

Chứng minh rằng : mm'=nn'=pp'. Thật vậy :

Dễ thấy m,m'≠0 thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.

Từ giả thiết ta có : a→=nmb→+pmc→a→=n'm'b→+p'm'c→ 

vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên  nm=n'm';pm=p'm'⇒mm'=nn'=pp'        

Trở lại bài toán

Ta có AD→+BE→+CF→=0→⇔ADMAMA→+BEMBMB→+CFMCMC→=0→

Mặt khác ADMA=SABDSABM=SADCSACM=SS−Sa, tương tự BEMB=SS−Sb và CFMC=SS−Sc

(với S=SABC, Sa=SMBC,  Sb=SMCA,  Sc=SMAB)

Do đó ta có MA→S−Sa+MB→S−Sb+MC→S−Sc=0→

Mặt khác ta cũng có SaMA→+SbMB→+ScMC→=0→

Áp dụng bổ đề suy ra 1S−SaSa=1S−SbSb=1S−ScSc⇔Sa=Sb=Sc hay M trùng trọng tâm tam giác ABC