Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn

4/5

Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]tâm O đường kính \[BC\], đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[BC\]cắt \[AC\]tại \[D\].

a. Chứng minh rằng tứ giác \[ABOD\] nội tiếp.

b. Tiếp tuyến tại điểm \[A\]với đường tròn \[\left( O \right)\]cắt đường thẳng \[BC\] tại điểm \[P\], sao cho \[PB = BO = 2cm\]. Tính độ dài đoạn \[PA\] và số đo góc \[APC\].

c. Chứng minh rằng \[\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)	$Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn (ảnh 1)$ (hình vẽ cho câu a, 0,25đ)
\[\widehat {BOD} = 90^\circ \](giả thiết)
\[ \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOD} = 180^\circ \]Vậy tứ giác nội tiếp
Tam giác \[APO\]vuông tại \[A\], áp dụng định lý Pitago ta có \[P{O^2} = P{A^2} + O{A^2} \Rightarrow P{A^2} = P{O^2} - O{A^2}\]
\[P{A^2} = {4^2} - {2^2} = 12\] \[PA = 2\sqrt 3 \,\,cm\]
Mặt khác \[\tan \widehat {APO} = \frac{{OA}}{{AP}} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]
\[ \Rightarrow \widehat {APO} = 30^\circ \] hay \[\widehat {APC} = 30^\circ \]

Xét hai tam giác \[PBA\]và \[PAC\]có

Góc \[P\]chung

\[\widehat {PAB} = \widehat {PCA}\]

(cùng chắn cung)

Vậy hai tam giác \[PBA\] và \[PAC\]đồng dạng, khi đó

\[\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}\]

$Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn (ảnh 2)$

\[\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{BA}}{{AC}}\] và \[\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}\]

Nhân hai biểu thức ta được

\[\frac{{PB}}{{PA}}.\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}.\frac{{BA}}{{AC}} = {\left( {\frac{{BA}}{{AC}}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\]