Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H , cùng nằm trên một đường tròn

Phân tích đề bài

a) Thấy ngay hai tam giác AEH và ADH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền nên bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

b) EM là tiếp tuyến của (O)

                     ⇕

              OEM^=90°

                     ⇕

             AEO^=CEM^

                     ⇕

              EAO^=ECB^

Giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của AH.

Theo giả thiết ΔAEH và ΔADH là các tam giác vuông có chung cạnh huyển AH nên bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn (O) đường kính AH.

b) Xét tam giác OAE có OE = OA nên ΔOAE cân tại O ⇒OAE^=OEA^.              (1)

Tương tự ΔMEC cân tại M nên MEC^=MCE^.                                                        (2)

Gọi F=AH∩BC⇒AF⊥BC.

Lại có: ECB^=BAF^ (vì cùng phụ với ABF^).                                                            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MEC^=AEO^.

Ta có: OEM^=OEH^+HEM^=OEH^+AEO^=AEH^=90°.

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).