Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC sao cho BM = BC và CN = CH. Chứng minh MN vuông góc với AC.

Xét tam giác MCB có: BM = BC (giả thiết)

Suy ra tam giác MCB cân tại B, nên BCM^=HMC^

Xét tam giác CHM vuông tại H có HMC^+HCM^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay HCM^=90°−HMC^

Ta có: MCN^+MCB^=ACB^=90°

Hay NCM^=90°−MCB^

Mà BCM^=HMC^, suy ra HCM^=MCN^

Xét tam giác MCH và tam giác MCN có:

CH = CN (giả thiết);

HCM^=MCN^ (chứng minh trên);

CM chung

Do đó ∆MCH = ∆MCN (c.g.c)

Suy ra CHM^=CNM^

Mà CHM^=90°, do đó CNM^=90°

Hay MN vuông góc với AC

Vậy MN vuông góc với AC.