Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆA=60. Tia phân giác của ˆBAC cắt BC tại E. Kẻ EK⊥AB,K∈AB. Kẻ BD⊥AE (D∈AE). Lấy điểm M sao cho C là trung điểm của AM.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Xét \[\Delta CAE\] và \[\Delta KAE\], có:

\[\widehat {ACE} = \widehat {EKA} = 90^\circ \] (gt)

\[\widehat {CAE} = \widehat {EAK}\] (gt)

\[AE\] chung (gt)

Suy ra \[\Delta CAE = \Delta KAE\] (ch – gn)

Do đó, \[AC = AK\] (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: \[\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ \].

Xét \[\Delta KAE\] và \[\Delta KEB\], có:

\[\widehat {AKE} = \widehat {EKB} = 90^\circ \]

\[\widehat {EAK} = \widehat {EBK} = 30^\circ \]

\[EK\] chung

Do đó, \[\Delta KAE = \Delta KEB\] (cgv – gn)

Suy ra \[KA = KB\] (hai cạnh tương ứng)

c) Xét \[\Delta KEB\] vuông tại \[K\] nên \[BE\] là cạnh huyền.

Do đó, \[BE > KB\].

Mà \[KB = KA = AC\] nên \[BE > AC.\]

d) Xét \[\Delta AEB\] có \[EK \bot AB,\]\[BD \bot AE\] và \[BE \bot AC\].

Do đó, ba đường cao \[AC,BD,KE\] trong \[\Delta AEB\] đồng quy.