Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN. a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM. b) Chứng minh góc BAC = góc CMN

Lời giải

a) Vì AM là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Nên \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)

Xét ΔABM và ΔANM có:

AB = AN (giả thiết)

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)

AM là cạnh chung chung

Suy ra ΔABM = ΔANM (c.g.c)

b) Vì ΔABM = ΔANM (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {ABM} = \widehat {ANM}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ANM} = 90^\circ \)

Hay tam giác CMN vuông tại N

Suy ra \(\widehat {NCM} + \widehat {NMC} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {NCM} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) (vì tam giác ABC vuông tại C)

Do đó \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\)

Vậy \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).