Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC) , lấy điểm M bất kỳ thuộc BC(M khác B; M khác C). Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. (a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

a) Xét tứ giác \(ADME\) có:

\[\widehat {DAE} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ADM} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {AEM} = 90^\circ .\]

Do đó tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

b) Ta có \(AD \bot AE\,;\,\,EF \bot AE\) nên \(AD\,{\rm{//}}\,EF.\)

Xét tứ giác \(ADEF\)có \[AF\,{\rm{//}}\,DE\,\,({\rm{gt}})\,;\,\,AD\,{\rm{//}}\,EF\].

Suy ra tứ giác \(ADEF\)là hình bình hành.

Vì \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(AE\,{\rm{//}}\,MD\,;\,\,AE = MD\).

Suy ra \(AE\,{\rm{//}}\,DG\,;\,\,AE = DG\) (vì D là trung điểm của MG).

Tứ giác \(AGDE\) có \[AG{\rm{ // }}DE\,;\,\,AE{\rm{ // }}DG\] nên \(AGDE\) là hình bình hành.

Suy ra \(AG = DE\,;\,\,AG{\rm{ // }}DE.\)

Tứ giác ADEF là hình bình hành nên \[AF = DE\] suy ra \(AG = AF.\)

Ta có AG // DE, AF // DE nên G, A, F thẳng hàng, suy ra A là trung điểm của GF.

c) Tam giác AHM vuông tại H và HO là đường trung tuyến nên .

Tứ giác ADME là hình chữ nhật nên AM = DE, suy ra .

Tam giác DHE có HO là đường trung tuyến và \(HO = \frac{{DE}}{2}\)

Tam giác DHE vuông tại H nên \(\widehat {DHE} = 90^\circ \)