Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $F$, vẽ $FE$ vuông góc với

4/5

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $F$, vẽ $FE$ vuông góc với $BC$ tại $E$. Gọi $\left( O \right)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEF$. Đường thẳng $BF$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là $D$, $DE$ cắt $AC$ tại $H$.

a) Chứng minh rằng: $ABEF$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: $FH.CA = CH.FA$

c) Đường thẳng $AD$ cắt $\left( O \right)$tại điểm thứ hai $G$, $FG$ cắt $CD$ tại $I$, $CG$ cắt $FD$ tại $K$. Chứng minh rằng $K,I,H$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $F$, vẽ $FE$ vuông góc với (ảnh 1)$

a) tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {BAC} = 90^\circ $ hay $\widehat {BAF} = 90^\circ $

ta có: $FE \bot BC$ tại $E$ nên $\widehat {FEB} = \widehat {FEC} = 90^\circ $

xét tứ giác $ABEF$ có $\widehat {BAF} + \widehat {FEB} = 180^\circ $ mà hai góc đối nhau nên $ABEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$ có $\widehat {FDC} = 90^\circ $ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay $\widehat {BDC} = 90^\circ $

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ $ mà hai đỉnh kề nên $ABCD$ là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$ có $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Hay $\widehat {ABF} = \widehat {FCD}$ (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABEF$ có \[\widehat {ABF} = \widehat {AEF}\]( hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2)

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$ có \[\widehat {FCD} = \widehat {FED}\]( hai góc nội tiếp cùng chắn ) (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có \[\widehat {FED} = \widehat {AEF}\] nên $FE$ là tia phân giác của $\widehat {AED}$

Xét tam giác $AEH$ có \[{\rm{EF;EC}}\] là đường phân giác trong và ngoài của tam giác nên \[\frac{{AF}}{{FH}} = \frac{{AE}}{{EH}};\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{AE}}{{EH}}\]

Suy ra $\frac{{AF}}{{FH}} = \frac{{AC}}{{CH}} \Leftrightarrow AF.CH = FH.AC$

c) Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {FGC} = 90^\circ $ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $CG \bot FI$

Xét tam giác \[IFC\] có $FD;CG$ là hai đường cao mà $FD$ cắt $CG$ tại $K$ suy ra $K$ là trực tâm

Suy ra $IK \bot FC$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {FDA} = \widehat {FCG}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Mà $\widehat {FDA} = \widehat {BCA}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Do đó $\widehat {BCA} = \widehat {FCG}$ hay $\widehat {FCE} = \widehat {FCG}$

Xét $\Delta FEC$ và $\Delta FGC$ có $\widehat {FCE} = \widehat {FCG}$ và $\widehat {FEC} = \widehat {FGC} = 90^\circ $

Suy ra do đó

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$ có

Suy ra $\widehat {GFC} = \widehat {EDC}$ hay $\widehat {IFH} = \widehat {HDC}$

Xét tứ giác $FHDI$ có $\widehat {IFH} = \widehat {HDC}$ mà góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện nên $FHDI$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra $\widehat {FHI} = \widehat {FDI} = 90^\circ \Rightarrow IH \bot FC$

Suy ra $K;I;H$ thẳng hàng

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Lai Châu có đáp án

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(F\), vẽ \(FE\) vuông góc với