Cho tam giác ABC  vuông tại A  trên cạnh AC  lấy điểm D ( D khác A, D khác C) . Đường tròn tâm O đường kính DC cắt BC tại E

Dễ thấy ∠DEC=90°,∠BAC=90°

⇒∠BAC+∠BEC=180°⇒ABEDlà tứ giác nội tiếp

b)    Dễ dàng chứng minh được AICB là tứ giác nội tiếp ⇒∠B1=∠C1

Tứ giác ABED nội tiếp ⇒∠B1=∠E12

Tứ giác IDEC nội tiếp nên ∠E2=∠C13

Từ 1,2,3⇒∠E1=∠E2⇒EDlà tia phân giác của ∠AEI

c)    Để  EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD thì ∠E1=∠C11

Mà tứ giác ABED nội tiếp nên ∠E1=∠B12

Từ (1) và (2) suy ra ∠C1=∠B1 mà ∠BAD chung ⇒ΔABD∽ΔACB(g.g)

⇒ABAC=ADAB⇒AB2=AC.AD⇒AD=AB2AC1

Theo bài ra ta có: tanABC=ACAB=2⇒ABAC=122

Từ (1) và (2) suy ra AD=AB2

Vậy AD=AB2thì EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD