Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D

7/8

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D.\)

a) Viết các tỉ số lượng giác của \(\widehat {ABD}.\)

b) \(AB = 3{\rm{\;cm}},\)\(AC = 4{\rm{\;cm}}.\) Tính số đo của \(\widehat {ABC}\) và độ dài các cạnh \(BC,\) \(BD\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị cm và làm tròn đến phút của số đo góc).

c) Chứng minh rằng \(\tan \widehat {ABD} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,\) ta có:

\[\sin \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\,\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}};\]

\[\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}},\,\,\cot \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{AD}}.\]

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25,\) suy ra \(BC = 5{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3},\) suy ra \(\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.\)

Vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có \(\widehat {ABD} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 53^\circ 8' \approx 26^\circ 34'.\)

Theo câu a, \[\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}},\] suy ra \[BD = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} \approx \frac{3}{{\cos 26^\circ 34'}} \approx 3,35{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

c) Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,\) ta có: \[\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (tính chất tia phân giác của một góc)

Từ đó, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \[\tan \widehat {ABD} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.\]