Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua M

a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.

ΔABC vuông tại A⇒AB⊥AC (BAC^=90∘)

Theo giả thiết, ta có:

+) MD // ABAB⊥AC⇒MD⊥AC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

⇒MDA^=90∘

+) ME // ACAB⊥AC⇒ME⊥AB (quan hệ từ vuông góc đến song song)

⇒MED^=90∘

Xét tứ giác ADME ta có: BAC^=MED^=MDA^=90∘

=> Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) Nếu AB = AC thì các tứ giác ADME, BEDC là hình gì? Vì sao?

*) Xét ΔABC ta có:

+) BM=MCMD // AB⇒MD là đường trung bình trong ΔABC.

⇒AD=DC=AC2

+) BM=MCME // AD⇒ME là đường trung bình trong ΔABC.

⇒AE=EB=AB2

Nếu AB = AC thì AD = AE.

Mà tứ giác ADME là hình chữ nhật => Tứ giác ADME là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

Vậy nếu AB = AC thì tứ giác ADME là hình vuông.

*) Xét ΔABC ta có:

EA=EBDA=DC⇒ED là đường trung bình của ΔABC

=> ED // BC

=> EDBC là hình thang (dấu hiệu nhận biết)

Nếu AB = AC thì ΔABC là tam giác vuông cân (theo định nghĩa)

Suy ra, ABC^=ACB^ (tính chất)

Hay EBC^=DCB^.

=> EDCB là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

Vậy nếu AB = AC thì EDCB là hình thang cân.