Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. (a) Chứng minh AM=BC/2. (b) Chứng minh rằng: Nếu ˆC=30∘ thì AB=BC/2.

a) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy \(D\) sao cho \(MA = MD\) suy ra \(AM = \frac{{AD}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CMD\) có

\(AM = MD\) (theo cách vẽ)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(BM = CM\) (gt)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\)

Suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Và \(\widehat {ABC} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)

Do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {DCM} + \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \).

• Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DCA\) có:

\(AB = CD\) (cmt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {DCM}\) (cmt)

Cạnh \(AC\) chung

Do đó \(\Delta ABC = \Delta CDA\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(BC = AD\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai cạnh tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra \(AM = \frac{{BC}}{2}\).

b) Vì \(AM = \frac{{BC}}{2};\,\,BM = \frac{{BC}}{2}\) nên \(AM = BM\) suy ra \(\Delta ABM\,\) cân.

Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABM\) đều.

Do đó \[AB = AM = \frac{{BC}}{2}\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\] (tính chất tam giác đều).

Vậy \(AB = \frac{{BC}}{2}\).