Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác gócABC cắt AC tại D a) Biết BC = 5cm, AB = 3cm, Tính AC và AD

a) Ta có ∆ABC vuông tại A nên ta có:

AB² + AC² = BC² ( định lý Py – ta – go)

ÞAC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

ÞAC = 4 (cm).

Xét ∆ABC có BD là tia phân giác của ABC^ (D ÎAC)

Ta có: ADDC=BABC (định lý)

Mà DC = BC – AD = 5 – AD

⇒AD5−AD=BABC=35

Þ5.AD = 3.(5 – AD)

Û 5AD = 15 – 3AD

Û 8AD = 15

ÛAD =158= 1,875 (cm)

Vậy độ dài đoạn AC là 4 cm và AD là 1,875 cm.

b) Theo đề ∆ABC vuông tại A nên có BAC^=90o;

DH vuông góc với BC tại H nên DHC^=90o;

Do đó BAC^=DHC^=90o.

Xét ∆ABC và ∆HDC có:

BCA^ chung (giả thiết)

BAC^=DHC^=90o(cmt)

Suy ra, ∆ABC ∽ ∆HDC (g.g)

Vì ∆ABC ∽ ∆HDC (cmt) nên CHCA=CDCB (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Þ CH.CB = CA.CD.

c) Vì E là hình chiếu của A trên BC nên (E Î BC).

DH vuông góc với BC tại H (H Î BC).

Suy ra DH // AE (định lý)

Áp dụng định lý Ta – let trong ∆AEC có DH // AE (cmt)

Ta có: HCHE=DCDA (1);

Xét ∆ABC có BD là tia phân giác của ABC^ (D Î AC)

Ta có: BCBA=DCDA (2);

Từ (1) và (2) suy ra HCHE=BCBA=DCDA .