Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ BD là tia phân giác của góc ABC

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \); \[BD\] là cạnh chung

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (\[BD\] là tia phân giác của góc \[ABC\])

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cmt) nên \(AB = EB\) (hai cạnh tương ứng)

Gọi giao điểm của \[BD\] và \[AE\] là \[M.\]

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta EBM\) có:

\(AB = EB\) (cmt)

\(\widehat {ABM} = \widehat {EBM}\) (\[BD\] là tia phân giác của góc \(ABC\))

\[BM\] là cạnh chung

Do đó\(\Delta ABM = \Delta EBM\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {EMB}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {EMB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {EMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

Do đó \(\widehat {BME} = 90^\circ \) (đpcm)

c) Từ câu a: \(\Delta ADK = \Delta EDC\)suy ra \(\widehat {ADK} = \widehat {EDC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {EDC} + \widehat {ADE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {EDC} + \widehat {ADK} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {EDK} = 180^\circ \).

Do đóba điểm \[K,\,\,D,\,\,E\] thẳng hàng.