Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm sao cho CM=CA, trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN=AH. Biết AB=3cm, BC=6cm.

a) Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta CAD\) có \(\widehat {CAB} = \widehat {CAD} = 90^\circ \)

\(AD = AB\)

Cạnh \(CA\) chung

Do đó \(\Delta CAB = \Delta CAD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \(CB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác \(BD = 2AB = 2 \cdot 3 = 6 = CB.\)

Do đó \(CB = CD = BD\).

Vậy tam giác \(BCD\) là tam giác đều.

b) Theo giả thiết \(CA = CM\) nên \(\Delta CAM\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {CMA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACM}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).

• Xét \(\Delta AHM\) vuông ta có

\(\widehat {MAH} = 180^\circ - \widehat {AHM} - \widehat {AMH}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \).

• Xét \(\Delta AHB\) ta có

\(\widehat {HAB} = 180^\circ - \widehat {AHB} - \widehat {HBA}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Mặt khác \(\widehat {MAN} = \widehat {MAB} - \widehat {MAH}\)\( = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ \).

Do đó \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN} = 15^\circ \).

• Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAH\) có:

\(AN = AH\), \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN}\) và cạnh \(AM\) chung.

Do đó \(\Delta MAN = \Delta MAH\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \). Vậy \(MN \bot AB\).