Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Biết rằng chu vi tam giác ABC bằng 24 cm và AB:AC:BC = 3:4:5. Tính độ dài đoạn thẳng AM. (Đơn vị cm)

Đáp án: \(5\)

Vì chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(24\;{\rm{cm}}\)nên \(AB + BC + AC = 24\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì \(AB:AC:BC = 3:4:5\)  nên \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{AB + AC + BC}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{24}}{{12}} = 2.\)

Do đó, \(BC = 2 \cdot 5 = 10\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)

Mà \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AM = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)