Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm BC. Kẻ MH vuông góc với cạnh AB tại H, kẻ MK vuông góc với cạnh AC tại K. a) Chứng minh tứ giác AHMK là hình chữ nhật.
12/12
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại A. Gọi M là trung điểm \[BC.\] Kẻ \[MH\] vuông góc với cạnh \[AB\] tại \(H\), kẻ \[MK\] vuông góc với cạnh \[AC\] tại \(K.\)
a) Chứng minh tứ giác \[AHMK\] là hình chữ nhật.
b) Gọi E là trung điểm đoạn MC . Gọi F là điểm đối xứng với A qua E. Chứng minh: Tứ giác \[AMFC\] là hình bình hành.
c) Gọi O là giao điểm của HC và AM . Chứng minh: \(MO = \frac{{BC}}{6}.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét tứ giác \[AHMK\] có \(\widehat {HAK} = 90^\circ \) (do \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \));
\[\widehat {AHM} = 90^\circ \] (do \[MH \bot \;AB\] tại \(H\))
\[\widehat {AKM} = 90^\circ \] (do \[MK \bot \;AC\] tại \(K\))
Do đó tứ giác \[AHMK\] là hình chữ nhật.
b) Xét tứ giác AMFC có:
• E là trung điểm MC (gt);
• E là trung điểm AF (do F là điểm đối xứng của A qua E).
Suy ra hai đường chéo MC và AF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên \[AMFC\] là hình bình hành.
c) Tam giác MAB cân tại M có đường cao \(MH\) (vì \(MH \bot AB\,)\) nên \(MH\) cũng là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm AB.
Xét \[\Delta ABC\] có AM và CH là hai đường trung tuyến cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của \[\Delta ABC\].
Suy ra \(AO = \frac{2}{3}AM\) nên \(OM = \frac{1}{3}AM.\)
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)
Do đó \(MO = \frac{1}{6}AM = \frac{{BC}}{6}.\)