Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB tại E,DF vuông góc với AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác \[AEDF\] có: \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A),\) \(\widehat {E\,} = 90^\circ \) (do \(DE \bot AB),\) \(\widehat {F\,} = 90^\circ \) (do \(DF \bot AC).\)

Suy ra \[AEDF\] là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AD = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DB = DC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(DB = DC = DA = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ACD\) có \(DA = DC\) nên \(\Delta ACD\) cân tại \(D,\) khi đó \(DF\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \[\Delta ACD.\]

Do đó \[F\] là trung điểm \[AC\] nên \[FA = FC = \frac{1}{2}AC.\]

Mà \(ED = AF\) (do \[AEDF\] là hình chữ nhật) nên \(ED = FC.\)

Tứ giác \(EDCF\) có \(ED = FC\) và \(ED\,{\rm{//}}\,FC\) nên \(EDCF\) là hình bình hành.

c) Xét tứ giác \[ADCH\] có \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DH\) nên là hình bình hành.

Lại có \(DH \bot AC\) nên \(ADCH\) là hình thoi.