Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB

a) Tứ giác \[AEDF\] có: \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A),\) \(\widehat {E\,} = 90^\circ \) (do \(DE \bot AB),\) \(\widehat {F\,} = 90^\circ \) (do \(DF \bot AC).\)

Suy ra \[AEDF\] là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AD = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DB = DC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(DB = DC = DA = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ACD\) có \(DA = DC\) nên \(\Delta ACD\) cân tại \(D,\) khi đó \(DF\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \[\Delta ACD.\]

Do đó \[F\] là trung điểm \[AC\] nên \[FA = FC = \frac{1}{2}AC.\]

Mà \(ED = AF\) (do \[AEDF\] là hình chữ nhật) nên \(ED = FC.\)

Tứ giác \(EDCF\) có \(ED = FC\) và \(ED\,{\rm{//}}\,FC\) nên \(EDCF\) là hình bình hành.

c) Xét tứ giác \[ADCH\] có \(F\) là trung điểm của \(AC\) và \(DH\) nên là hình bình hành.

Lại có \(DH \bot AC\) nên \(ADCH\) là hình thoi.