Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của A lên đường

a)     Chứng minh \({\rm{BH}} \bot {\rm{AI}}\)

Gọi \({\rm{M}}\) là giao điểm của \({\rm{EI}}\) và \({\rm{AC}}\), ta có \({\rm{M}}\) là trực tâm của tam giác \({\rm{ECD}} \Rightarrow {\rm{DM}}\)//\({\rm{BC}}\)..

Tam giác ABC có

\({\rm{DA}} = {\rm{DB}},{\rm{\;DM}}\parallel {\rm{BC}} \Rightarrow {\rm{MA}} = {\rm{MC}}\).

Tam giác \({\rm{AHC}}\) có

\({\rm{MA}} = {\rm{MC}},{\rm{\;MI}}\parallel {\rm{AH}} \Rightarrow {\rm{IH}} = {\rm{IC}}\).

Gọi \({\rm{N}}\) là trung điểm của \({\rm{AH}}\) ta có \({\rm{IN}}\parallel {\rm{AC}} \Rightarrow {\rm{IN}} \bot {\rm{AD}}\).

Tam giác \({\rm{ADI\;c\'o }}\)

\({\rm{AH}} \bot {\rm{DI}},{\rm{\;IN}} \bot {\rm{AD}}\) do đó \({\rm{N}}\) là trực tâm \( \Rightarrow {\rm{DN}} \bot {\rm{AI}} \Rightarrow {\rm{BH}} \bot {\rm{AI}}\).

b)     Chứng minh tứ giác \({\rm{BCEK}}\) nội tiếp

Từ \({\rm{BH}} \bot {\rm{AI\;}} \Rightarrow {\rm{IN}}\parallel {\rm{AC}} \Rightarrow \widehat {{\rm{IAD}}} = \widehat {{\rm{KBD}}}\)

Xét \(\Delta {\rm{KBD\;v\`a \;}}\Delta {\rm{IAD}}\) có:

\(\widehat {{\rm{IAD}}} = \widehat {{\rm{KBD}}},{\rm{\;DA}} = {\rm{DB}},{\rm{\;}}\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{BDK}}} \Rightarrow \Delta {\rm{KBD\;}} = {\rm{\;}}\Delta {\rm{IAD}}\)

\( \Rightarrow {\rm{DK}} = {\rm{DI}}\)  (1).

Vì \(\Delta {\rm{DAC\;}}\~{\rm{\;}}\Delta {\rm{DIE}}\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{{\rm{DA}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DE}}}} \Rightarrow {\rm{DA}}.{\rm{DE}} = {\rm{DI}}.{\rm{DC}}\)(2).

Từ (1) và (2) kết hợp với \({\rm{DA}} = {\rm{DB}}\) suy ra \({\rm{DA}}.{\rm{DE}} = {\rm{DK}}.{\rm{DC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{DK}}}}{{{\rm{DE}}}} = \frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{DC}}}} \Rightarrow \Delta {\rm{DEK\;}}\~{\rm{\;}}\Delta {\rm{DCB}} \Rightarrow \widehat {{\rm{DEK}}} = \widehat {{\rm{DCB}}}\)dẫn đến \({\rm{BCEK}}\) nội tiếp.