Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC. (a) Chứng minh ΔMAC=ΔMBD. (b) Chứng minh AC+BC>2CM.

a) Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBD$ có:

$MA=MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB$0;

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh);

$MC=MD$ (giả thiết)

Do đó $\Delta MAC=\Delta MBD\left(\text{c}\text{.}\text{g}\text{.}\text{c}\right)$.

b) Do $\Delta MAC=\Delta MBD$ (câu a) nên $AC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta BCD$ có: BD+BC>CD (bất đẳng thức tam giác)

Do đó AC+BC>CD

Mà $CD=2CM$ (do $MD=MC$ nên $M$ là trung điểm của $CD$).

Vậy AC+BC>2CM.

c) Xét $\Delta ACD$ có đường trung tuyến $AM$ và $AK=\frac{2}{3}AM$ nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ACD$

Do đó $CK$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $AD$.

Xét $\Delta ABD$ có $DM,BN$ là hai đường trung tuyến và $DM,BN$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.

Do đó $DI=\frac{2}{3}DM$

Mà $DM=\frac{1}{2}CD$ nên $DI=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}CD$ hay $CD=3DI$.