Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HM vuông góc AB; HN vuông góc AC. Biết AB = 3 cm; AC = 4 cm. a) Tính độ dài MN. b) Tính số đo các góc của tam giác AMN.

a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\), ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25{\rm{ suy ra }}\\BC = 5(\;{\rm{cm}}).\end{array}\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\), ta có

\(AH \cdot BC = AB \cdot AC \Leftrightarrow AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}\)

suy ra \(AH = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = 2,4(\;{\rm{cm}})\).

Dễ thấy \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(MN = AH\) nên \(MN = 2,4\;{\rm{cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có \(A{H^2} = AM \cdot AB \Leftrightarrow AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{{{2,4}^2}}}{4} = 1,44(\;{\rm{cm}})\).

Ta xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(A\), ta có $\tan \widehat{AMN}=\frac{AN}{AM}=\frac{1,44}{1,92}\approx \tan {36}^{°}{52}^{\text{'}}$

Do đó $\widehat{AMN}={36}^{°}{52}^{\text{'}}$

Mà  $\widehat{ANM}={90}^{°}=\widehat{AMN}={90}^{°}-{36}^{°}{52}^{\text{'}}={53}^{°}{8}^{\text{'}}$

c) Gọi \(S\) là diện tích tứ giác\(BMNC\).

Ta có \(S = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC - \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1,92 \cdot 1,44 \approx 4,6\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích tứ giác \(BMNC\) là \(4,6\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).