Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB

Lấy điểm L đối xứng với H qua I.

\(MI\parallel BL\) (MI là đường trung bình \(\Delta HBL\))

\(MI \bot AN\) (vì \(MK \bot AN\))

Do đó \(BL \bot AN\)

\(\Delta ABN\) có L là trực tâm (giao điểm 2 đường cao AH và BL)

Suy ra \(NL \bot AB\)

\(NL \bot AB\), \(AC \bot AB\) suy ra \(NL\parallel AC\)

\(\Delta HAC\) có \(NH = NC\)và \(NL\parallel AC\) nên \(AL = LH\)

Từ đó \(AL = LH = 2.IH\), suy ra \(AH = 4.IH\) và \(AI = 3.IH\).

Do đó \(\frac{{AH}}{{AI}} = \frac{4}{3}\).