Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB. Gọi N là trung điểm của BM, trên tia HC lấy điểm K sao cho HK = BN, lấy S đối xứng với K qua A. Chứng minh SN vu

Lời giải:

Vì DABC vuông tại A, đường cao AH nên ta có: AH² = BH. HC, AB² = BH. BC.

Vì DABH vuông tại H, đường cao HM nên ta có: BH² = BM. AB.

Áp dụng định lý Pythagore vào DAHK vuông tại H có:

AK² = AH² + HK²

= BH. HC + BN²

= BH. (BC – BH) + BN²

= BH. BC – BH² + BN²

= BH. BC – BM. AB + BN²

= BH. BC – 2AB.BN + BN² (1).

Mà AN² = (AB – BN)² = AB² – 2AB.BN + BN² = BH. BC – 2AB.BN + BN² (2).

Do đó, AK² = AN² nên AK = AN.

Mà AK = AS nên AK = AN = AS \( = \frac{1}{2}{\rm{SK}}\). Do đó, tam giác NKS vuông tại N.

Vậy SN vuông góc với NK.