Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?

ΔABC vuông tại A ⇒IAK^=90∘.

Vì D đối xứng với H qua AB nên IHA^=90∘.

Vì E đối xứng với H qua AC nên HKA^=90∘.

⇒BAC^=IHA^=HKA^=90∘

Xét tứ giác AIHK có ⇒BAC^=IHA^=HKA^=90∘. Suy ra, tứ giác AIHK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Vì D đối xứng với H qua AB nên ⇒ΔADH cân tại A. Mà AI là đường cao trong ΔADH nên AI cũng là đường phân giác của góc DAH ⇒DAI^=IAH^

Tương tự, ta cũng chứng minh được: HAK^=KAE^ 

Ta có:

DAE^=DAI^+IAH^+HAK^+KAE^=2IAH^+HAK^=180∘

=> D, A, E thẳng hàng.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM⊥IK.

Gọi O là giao điểm của AM và IK. Gọi G là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AIHK.

ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến suy ra AM = BM = CM.

⇒ΔAMC cân tại M (dấu hiệu nhận biết)

⇒MAC^=MCA^ (tính chất)

Vì tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên GA = GH = GI = GK.

⇒ΔGKA cân tại G ⇒GKA^=GAK^.

Ta lại có: ABH^+BAH^=90∘BAH^+HAC^=90∘⇒ABH^=HAC^⇒ABH^=GAK^

⇒GKA^=ABH^⇒OKA^=ABH^ 

Xét tam giác ABC có: ABC^+ACB^=90∘ hay ABH^+MCA^=90∘

Mà OKA^=ABH^ và MAC^=MCA^ nên ta có: OKA^+MAC^=90∘

Suy ra, OAK^+OKA^=90∘⇒AOK^=90∘

Suy ra, AM⊥IK tại O.