Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng AH + BC/2 < AB + AC < AH + BC

Ta có AB > AH, AC > AH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)

Nên AB + AC > AH + AH hay AB + AC > 2AH (1)

Ta cũng có AB > BH, AC > CH (đường xiên lớn hơn đương vuông góc)

Nên AB + AC > BH + CH hay AB + AC > BC (2)

Từ (1) và (2) ta có: 2(AB + AC) > 2AH + BC

Do đó \(AB + AC > AH + \frac{{BC}}{2}\) (*)

Kẻ EF vuông góc với AC tại F

Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE nên ∆ABE cân tại B

Do đó \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\)

Mặt khác \(\widehat {BAE} = \widehat {AEF}\) cùng phụ với \(\widehat {EAF}\) nên \(\widehat {BEA} = \widehat {AEF}\)

⇒ ∆AHE = ∆AFE (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = AF (hai cạnh tương ứng)

Do đó BC + AH = BE + EC + AH = BA + EC + AF.

Vì EC > CF (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) nên

BC + AH > BA + CF + AF hay BC + AH > BA + AC (**)

Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh.