Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Biết AB = 4 cm, AC = 4 √ 3 c m . Tính BC, sin B, tan C. b) Từ kết quả câu a, tính AH và số đo góc AHC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB² + AC² = 4² + \({\left( {4\sqrt 3 } \right)^2}\) = 64 nên BC = 8 cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

sinB \( = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{8} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); tanC \( = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{4}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác ABC, ta có:

AB. AC = AH. BC nên \({\rm{AH}} = \frac{{{\rm{AB}} \cdot {\rm{AC}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{4 \cdot 4\sqrt 3 }}{8} = 2\sqrt 3 \)(cm).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ^ BC nên \(\widehat {{\rm{AHC}}} = 90^\circ \).

c) Xét DABH và DAHD có: \(\widehat {{\rm{BHA}}} = \widehat {{\rm{ADH}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{BAH}}}\) chung.

Do đó, DABH  DAHD (g – g).

Suy ra: \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}}\) (tỉ số đồng dạng) nên AB. AD = AH² (1).

Xét DAEH và DAHC có: \(\widehat {{\rm{AEH}}} = \widehat {{\rm{AHC}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{EAH}}}\) chung.

Do đó, DAEH  DAHC (g – g).

Suy ra: \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AC}}}}\) (tỉ số đồng dạng) nên AC. AE = AH² (2).

Từ (1) và (2) ta có: AB. AD = AC. AE.