Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B= alpha a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn alpha theo AB, BC, CA

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\sin \alpha = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\,\,\,\cos \alpha = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}};\)

\(\tan \alpha = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\cot \alpha = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}}\).

(định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn)

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)

Ta có:

⦁\(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha \).

⦁\(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha \).

⦁\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\).

⦁\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = 1\).

⦁\(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

⦁\[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\].