Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60 độ và AB = 3 cm. Lấy một điểm F tùy ý trên cạnh AB sao cho BF > 1 cm. Vẽ một phần đường tròn tâm B, bán kính BF cắt BC tại D.
9/9
(0,5 điểm) Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ \) và \(AB = 3cm\). Lấy một điểm \(F\) tuỳ ý trên cạnh \(AB\) sao cho \(BF > 1cm\) . Vẽ một phần đường tròn tâm \(B\), bán kính \(BF\) cắt \(BC\) tại \(D\). Tiếp tục, vẽ một phần đường tròn tâm \(C\), bán kính \(CD\) cắt cạnh \(AC\) tại \(E\). Tìm vị trí điểm \(F\) trên \(AB\) để diện tích phần tô đậm là lớn nhất.
Gọi độ dài đoạn thẳng \(BF\) là \(x{\rm{ }}\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( {1 < x < 3} \right)\)
Độ dài đoạn thẳng \(BD\) là \(x{\rm{ }}\left( {cm} \right)\)
Độ dài đoạn thẳng \(CD\) là \(6 - x{\rm{ }}\left( {cm} \right)\)
Diện tích hình quạt \(BFD\) là \({S_1} = \frac{1}{6}\pi {x^2}\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích hình quạt \(CED\) là \({S_2} = \frac{1}{{12}}\pi {\left( {6 - x} \right)^2}\left( {c{m^2}} \right)\)
Vì diện tích tam giác \(ABC\) không đổi nên để diện tích phần tô đậm lớn nhất thì \(S = {S_1} + {S_2}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{{12}}\pi \left[ {2{x^2} + {{\left( {6 - x} \right)}^2}} \right]\\S = \frac{1}{4}\pi \left( {{x^2} - 4x + 12} \right)\\S = \frac{1}{4}\pi \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \right] \ge 2\pi \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\)
Vậy \(F\) thuộc \(AB\) sao cho \(BF = 2cm\) thì diện tích phần tô đậm là lớn nhất.