Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD bằng MA. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Xét tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {ABC} < 90^\circ .\)

b) Sai. Theo giả thiết, điểm D nằm trên tia đối của tia MA và cách M một khoảng bằng MA (MD = MA).

Như vậy, M mới là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AM nên không thể là trung điểm của AM.

c) Đúng. Xét tứ giác ABDC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến).

M là trung điểm của AD (do MD = MA).

Khi đó, hai đường chéo BC và AD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Như vậy, tứ giác ABDC là hình bình hành.

Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (do tam giác ABC vuông tại A) nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

d) Đúng. Vì ABDC là hình chữ nhật nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) hay ∆BDC vuông tại D.

Lại có M là trung điểm của BC nên ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Do đó \(DM = \frac{1}{2}BC\).