Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB, lấy điểm E đối xứng với M qua D. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).

AM là trung tuyến nên M là trung điểm BC suy ra \(MB = MC = \frac{1}{2}BC\).

Vậy AM = BM = CM.

b) Đúng. E đối xứng với M qua D nên D là trung điểm của EM.

c) Sai. Vì D là trung điểm của AB và EM suy ra AEBM là hình bình hành.

Mà AM = BM (ý a) nên AEBM là hình thoi.

d) Đúng. Để AEBM là hình vuông thì AEBM là hình thoi có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \), tức là AM là đường cao của ∆ABC.

Mà AM cũng là đường trung tuyến của tam giác nên ∆ABC phải cân tại A.

Như vậy, để AEBM là hình vuông thì ∆ABC cần phải là tam giác vuông cân tại A.

Thật vậy, nếu ∆ABC vuông cân tại A thì dễ dàng chứng minh được AEBM là hình vuông.