Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M. a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB. b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên \[\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\;\] hay AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên \[\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\;\] hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó \[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\].

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

\[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\] (chứng minh trên)

Do đó ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: 

BC²= AB²+ AC²= 9²+ 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có \(\widehat B\) chung

Do đó ΔABC ᔕΔHBA (g.g).

Suy ra \[\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

Suy ra AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên \[AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76\,\,(cm)\]

• Từ (2): AN.AC = AH² nên \[AN = \frac{{A{H^2}}}{{AC}} = \frac{{7,{2^2}}}{{12}} = 4,32\,\,(cm)\]

Diện tích tam giác AMN là: 

\[\frac{1}{2}\,.\,5,76\,.\,4,32 = 12,4416\,\,(c{m^2})\].

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416cm².